题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=x²e^-ax(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.

答案

当0＜a＜1时，f(x)的最大值为4e^-2a,当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a^-2e^-2,
当a＞2时，f(x)的最大值为e^-a.   

解析

 ∵f（x）=x²e^-ax（a＞0）,
∴f′(x)=2xe^-ax+x²·（-a)e^-ax=e^-ax(-ax²+2x).                                3分
令f′(x)＞0,即e^-ax(-ax²+2x)＞0,得0＜x＜.
∴f(x)在（-∞,0),上是减函数，
在上是增函数.
①当0＜＜1,即a＞2时,f(x）在（1，2）上是减函数,
∴f（x）_max=f（1）=e^-a.                                             8分
②当1≤≤2,即1≤a≤2时，
f(x)在（1, ）上是增函数，在（,2）上是减函数，
∴f(x)_max=f（）=4a^-2e^-2.                                           12分
③当＞2时，即0＜a＜1时，f(x)在（1，2）上是增函数，
∴f（x）_max=f（2）=4e^-2a.
综上所述，当0＜a＜1时，f(x)的最大值为4e^-2a,
当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a^-2e^-2,
当a＞2时，f(x)的最大值为e^-a.                                      14分