题目
题型:不详难度:来源:
已知函数。
(Ⅰ)求函数的定义域,并判断的单调性;
(Ⅱ)若;
(Ⅲ)当(为自然对数的底数)时,设,若函数的极值存在,求实数的取值范围以及函数的极值。
答案
当
(Ⅱ)
(Ⅲ)时,函数有极值;
当时的极大值为,的极小值为
当时,的极大值为
解析
本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
(Ⅰ)由题意知
当
当
当….(4分)
(Ⅱ)因为
由函数定义域知>0,因为n是正整数,故0<a<1.
所以
(Ⅲ)
令
① 当m=0时,有实根,在点左右两侧均有故无极值
② 当时,有两个实根
当x变化时,、的变化情况如下表所示:
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
③ 当时,在定义域内有一个实根,
同上可得的极大值为
综上所述,时,函数有极值;
当时的极大值为,的极小值为
当时,的极大值为
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知函数。(Ⅰ)求函数的定义域,并判断的单调性;(Ⅱ)若;(Ⅲ)当(为自然对数的底数)时,设,若函数的极值存在,求实数的取值范围以及函数的极】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
⑴若方程有两个相等的实数根,求的解析式;
⑵若函数无极值,求实数的取值范围
(1)求a的值,使的极小值为0;
(2)证明:当且仅当a=3时,的极大值为4。
(Ⅰ)求切线l的方程;
(Ⅱ)求S(t)的最大值.
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