题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f (x)=x3+ ax2-bx (a, b∈R) .
(1)若y="f" (x)图象上的点(1,-)处的切线斜率为-4,求y="f" (x)的极大值;
(2)若y="f" (x)在区间[-1,2]上是单调减函数,求a + b的最小值.
答案
(2)z=a+b取得最小值为
解析
∴ 由题意可知:f ′(1)=-4且f (1)= -,
∴ 解得:…………………………3分
∴ f (x)=x3-x2-3x。
f ′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).
令f ′(x)=0,得x1=-1,x2=3,
由此可知:
x | (-∞,-1) | -1 | (-1, 3) | 3 | (3, +∞) |
f ’(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f (x) | ↗ | f (x)极大5/3 | ↘ | f (x) 极小 | ↗ |
(2)∵y="f" (x)在区间[-1,2]上是单调减函数,
∴f ′(x)=x2+2ax-b≤0在区间[-1,2]上恒成立.
根据二次函数图象可知f ′(-1)≤0且f ′(2)≤0,即:
也即…………………9分
作出不等式组表示的平面区域如图:
当直线z=a+b经过交点P(-, 2)时,
z=a+b取得最小值z=-+2=,
∴z=a+b取得最小值为……………………12分
核心考点
试题【(本题满分12分)已知函数f (x)=x3+ ax2-bx (a, b∈R) .(1)若y="f" (x)图象上的点(1,-)处的切线斜率为-4,求y="f" 】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数
(I)若当时,取得极值,求的值,并讨论的单调性;
(II)若存在极值,求的取值范围,并证明所有极值之和大于.
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)若函数在[2,0]上不单调,且时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
A.72 | B.36 | C.12 | D.0 |
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