题目
题型:不详难度:来源:
已知函数的图象在处的切线与直线平行.
(1)求实数的值;
(2)若方程在上有两个不相等的实数根,
求实数的取值范围;(参考数据:2.71 828…)
(3)设常数,数列满足(),
,求证:.
答案
解析
∴ .由题知,解得a=1.(3分)
(2)由(1)有,∴原方程可整理为.
令,得,
∴ 当3<x≤4时,当2≤x<3时,,
即g(x)在[2,3]上是增函数,在[3,4]上是减函数,
∴ 在时g(x)有最大值.
∵ g(2)=4ln3-2,g(4)=4ln5-4,
∴ g(2)-g(4)==2.由9e≈24.46<25,于是.
∴ g(2)<g(4).
∴ m取值范围为.(8分)(3)由()有,
显然0,当x∈(0,+∞)时,,当x∈(-1,0)时,,
∴ f (x)在(-1,0)上是增函数,在上是减函数.
∴ f (x)在(-1,+∞)上有最大值f (0),而f (0)=0,
∴ 当x∈(-1,+∞)时,,因此……(*)
由已知有,所以.
∵ an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an),
∴ 由(*)中结论可得an+1-an≤p-1-an,即an+1≤p-1().
∴ 当n≥2时,-an=ln(p-an)≥ln[p-(p-1)]=0,即≥an.
当n=1,a2=a1+ln(p-lnp),∵ lnp=ln(1+p-1)≤p-1,
∴ a2≥a1+ln[p-(p-1)]=a1,结论成立.∴ 对,.(13分)
核心考点
试题【(本小题13分)已知函数的图象在处的切线与直线平行.(1)求实数的值;(2)若方程在上有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;(参考数据:2.71 828…)(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知,其中是自然对数的底,
(1)时,求的单调区间、极值;
(2)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值,若不存在,说明理由;
(3)在(1)的条件下,求证:
A.=0 | B.=0 | C.=0 | D.=0 |
已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)证明:对任意的正整数n,不等式ln<都成立.
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