题目

题型：0127 模拟题难度：来源：

已知函数g(x)=+lnx在[1，+∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，f(x)=mx--lnx(m∈R)，
(Ⅰ)求θ的值；
(Ⅱ)若f(x)-g(x)在[1，+∞)上上为单调函数，求m的取值范围；
(Ⅲ)设h(x)=，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f(x₀)-g(x₀)＞h(x₀)成立，求m的取值范围。

答案

解：（1）由题意：在[1，+∞)上恒成立，即，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故xsinθ-1≥0在[1，+∞)上恒成立，只需sinθ-1≥0，即sinθ≥1，
只有sinθ=1，结合θ∈（0，π），得；
（2）由（1），得f(x)-g(x)=mx-，，
由于f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数，
则或者在[1，+∞)上恒成立，
即或者在[1，+∞)上恒成立，
故m≥1或者m≤0，
综上，m的取值范围是；
（3）构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x)，，
当m≤0时，由x∈[1，e]得，，
所以在[1，e]上不存在一个x₀，使得；
当m＞0时，，
因为x∈[1，e]，，所以（F（x））′＞0在[1，+∞)上恒成立，
故F(x)在x∈[1，e]上单调递增，
，只要，解得，
故m的取值范围是。