(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若方程在[2,4]上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)设常数p≥1,数列{an}满足an+1=an+ln(p-an)(n∈N+),a1=lnp,求证:an+1≥an
解:(I )∵f ′(x)=,
∴f ′(1)=.
由题知,
解得a=1 .
(II )由(I )有f (x )=ln (1+x )-x ,
∴原方程可整理为4ln (1+x )-x=m .
令g (x )=4ln (1+x )-x ,
得g ′(x)=,
∴当3 <x ≤4 时g" (x )<0 ,
当2 ≤x <3 时g" (x )>0 ,g" (3 )=0 ,
即g (x )在[2 ,3] 上是增函数,在[3 ,4] 上是减函数,
∴在x=3 时g (x )有最大值4ln4-3 .
∵g (2 )=4ln3-2 ,
g (4 )=4ln5-4 ,
∴g (2 )-g (4 )=.
由9e ≈24.46 <25 ,
于是
∴g (2 )<g(4 ).
∴a 的取值范围为[4ln5-4 ,4ln4-3 )
(III )由f (x )=ln (1+x )-x (x >-1 )
有f ′(x)=,
显然f" (0 )=0 ,
当x ∈(0 ,+ ∞)时,f" (x )<0 ,
当x ∈(-1 ,0 )时,f" (x )>0 ,
∴f (x )在(-1 ,0 )上是增函数,在[0 ,+ ∞)上是减函数.
∴f (x )在(-1 ,+ ∞)上有最大值f (0 ),
而f (0 )=0 ,
∴当x ∈(-1 ,+ ∞)时,f (x )≤0 ,
因此ln (1+x )≤x(* )
由已知有p >an ,
即p-an >0 ,
所以p-a n-1 >-1 .
∵an+1-an=ln (p-an )=ln (1+p-1-an ),
∴由(* )中结论可得a n+1-an ≤p-1-an ,
即an+1 ≤p-1 (n ∈N* ).
∴当n ≥2 时,an+1-an=ln (p-an )≥ln[p- (p-1 )]=0 ,
即an+1≥an .
当n=1 ,a2=a1+ln (p-lnp ),
∵lnp=ln (1+p-1 )≤p-1 ,
∴a2 ≥a1+ln[p- (p-1 )]=a1,
结论成立.
∴对n ∈N* ,an+1≥an。
(2)是否存在实数x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在求出x0的值,若不存在,请说明理由.
(1)若k=2e,试确定函数f(x)的单调区间;
(2)若k>0,且对于任意x∈R,f(|x|)<1恒成立,试确定实数k的取值范围.
(2)求证:对任意的n∈N*,不等式总成立.
(I)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象在公共点P处有相同的切线,求实数m的值和P的坐标;
(II)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点M、N,求实数m的取值范围;
(III)在(II)的条件下,过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f(x)的图象和g(x)的图象交于S、T点,以S点为切点作f(x)的切线l1,以T为切点作g(x)的切线l2,是否存在实数m,使得l1l2?如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由.
(2)求证:对任意的n∈N*,不等式总成立.
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