题目
题型:浙江省期中题难度:来源:
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若关于x的不等式lnx>mx对一切x∈[2a,4a]都成立(其中a>0),求实数m的取值范围。
答案
当0<x<e时,f "(x)>0;
当e<x时,f "(x)<0,
所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e ,+ ∞)上单调递减。
又函数f(x)为奇函数,所以f(x)在(-e ,0)上单调递增,在(- ∞,-e )上单调递减。
∴f(x)的单调增区间为(-e ,0)和(0,e);单调减区间为(- ∞,-e )和(e ,+ ∞)。
(2)不等式lnx>mx对一切x∈[2a,4a]都成立,即对一切x∈[2a,4a]都成立
由(1 )知f(x)在(0,e)上单调递增,在(e ,+ ∞)上单调递减,
所以,当4a≤e,即0<a≤时,f(x)在[2a,4a] 上单调递增,
∴f(x)min=f(2a)= ;
当2a≥e,即时,f(x)在[2a,4a] 上单调递减,
∴f(x)min=f(4a)= ;
当2a<e<4a,即时,f(x)在[2a,e]上单调递增,在[e,4a]上单调递减,
∴f(x)min=min{f(2a),f(4a)}
下面比较f(2a),f(4a)的大小:
∵f(2a)-f(4a)= ,
∴当时,f(x)min=f(2a),
当时,f(x)min=f(4a)
综上得:当0<a≤1时,f(x)min=f(2a)= ;
当a>1时,f(x)min=f(4a)= .
故当0<a≤1时,;当a>1时,.
核心考点
试题【已知函数(1)求函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的不等式lnx>mx对一切x∈[2a,4a]都成立(其中a>0),求实数m的取值范围。】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)设函数F(x)=f(x)-g(x),讨论F(x)的极值点的个数;
(2)若-2≤a≤1,求证:对任意的x1,x2∈[1,2],且x1<x2时,都有
(1)若函数的图象在处的切线斜率为1,求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,求函数的单调区间;
(3)若函数在上是减函数,求实数a的取值范围.
给出定义在上的三个函数:,已知g(x)在x=1处取极值.
(Ⅰ)确定函数h(x)的单调性;
(Ⅱ)求证:当时,恒有成立;
(Ⅲ)把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象,试确定函数的零点个数,并说明理由。
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)的图象上两点,( 为的导函数),证明:
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