题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=1时,证明:(x-1)(x2lnx-f(x))≥0.
答案
2ax2-x-1 |
x |
令g(x)=2ax2-x-1,x∈(0,+∞)
(1)当a≤0时,g(x)<0,此时f"(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上为减函数;
(2)当a>0时,方程2ax2-x-1=0有两根x1=
1+
| ||
4a |
1-
| ||
4a |
且x1>0,x2<0,此时当x∈(0,
1+
| ||
4a) |
当x∈(
1+
| ||
4a |
故f(x)在(0,
1+
| ||
4a |
1+
| ||
4a |
所以当a≤0时,函数f(x)的递减区间为(0,+∞),
当a>0时,函数f(x)的递增区间为(
1+
| ||
4a |
1+
| ||
4a |
(Ⅱ)当a=1时,f(x)=x2-x-lnx,x2lnx-f(x)=x2lnx+x+lnx-x2,
由(Ⅰ)知f(x)在(0,1)为减函数,在(1,+∞)为增函数,
所以f(1)=0为f(x)的最小值,即f(x)≥0,所以x+lnx-x2≤0,
故当0<x≤1时,x2lnx-f(x)≤0,所以(x-1)(x2lnx-f(x))≥0,
当x>1时,x2lnx-f(x)=lnx+x2(lnx+
1 |
x |
令φ(x)=lnx+
1 |
x |
φ"(x)=
1 |
x |
1 |
x2 |
又因lnx>0,x2>0,所以lnx+x2(lnx+
1 |
x |
故当x>1时,(x-1)(x2lnx-f(x))>0,
综上所述,当a=1时,(x-1)(x2lnx-f(x))≥0.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2-x-lnx(a∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当a=1时,证明:(x-1)(x2lnx-f(x))≥0.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若函数g(x)=exf(x)在[0,2]上是单调减函数,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)求函数f(x)过点P(1,-8)的切线方程.
(1)设a=2,求f(x)的单调增区间;
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
A.(-∞,1) | B.(0,2) | C.(1,+∞) | D.(2,+∞) |
(1)若f(x)在x=1处取得的极值为2,求a,b的值;
(2)若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=9a,求a的取值范围.
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