题目
题型:不详难度:来源:
2 |
x |
(1)求函数φ(x)=g(x)-kf(x)(k>0)的单调区间;
(2)若对所有的x∈[e,+∞],都有xf(x)≥ax-a成立,求实数a的取值范围.
答案
2 |
x |
φ′(x)=1+
2 |
x2 |
k |
x |
x2-kx+2 |
x2 |
①当△=k2-8≤0即0<k≤2
2 |
∴φ′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,φ(x)在区间(0,+∞)上递增.
②当△=k2-8>0即k>2
2 |
k-
| ||
2 |
k+
| ||
2 |
若x1<x<x2,则g(x)<0,∴φ′(x)<0,∴φ(x)在区间(x1,x2)上递减;
若x>x2或0<x<x1,则g(x)>0,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在区间(0,x1)和(x2,+∞)上递增.
综上可知:当0<k≤2
2 |
2 |
k-
| ||
2 |
k+
| ||
2 |
k-
| ||
2 |
k+
| ||
2 |
(2)∵x≥e,∴xlnx≥ax-a⇔a≤
xlnx |
x-1 |
令h(x)=
xlnx |
x-1 |
x-lnx-1 |
(x-1)2 |
∵当x≥e时,(x-lnx-1)′=1-
1 |
x |
∴函数y=x-lnx-1在[e,+∞)上是增函数,
∴x-lnx-1≥e-lne-1=e-2>0,h′(x)>0,
∴h(x)的最小值为h(e)=
e |
e-1 |
∴a≤
e |
e-1 |
核心考点
试题【若函数f(x)=lnx,g(x)=x-2x.(1)求函数φ(x)=g(x)-kf(x)(k>0)的单调区间;(2)若对所有的x∈[e,+∞],都有xf(x)≥a】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
3 |
3 |
2 |
a |
3 |
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x1,x2∈[-1,1]时,求证|f(x1)-f(x2)|≤
44 |
3 |
1 |
2 |
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