题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=ax²-2

4+2b-b2

x，g（x）=-

1-(x-a)2

（a，b∈R）
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值．

答案

（1）当b=0，时，f（x）=ax²-4x，
若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在[2，+∞）上单调递减，不符题意，
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，必须满足

a＞0 2 a ≥2

，解之得0＜a≤1
即实数a的取值范围是（0，1]；
（2）若a=0，f（x）=2

4+2b-b2

x，可得f（x）无最大值，故a≠0，
∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足

a＜0 4+2b-b2≥0

，即a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
此时，x=x₀=

4+2b-b2

a

时，f（x）有最大值．
又∵g（x）取最小值时，x=x₀=a，
依题意，

4+2b-b2

a

=a∈Z，可得a²=

5-(b-1)2

，
∵a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
∴0＜a2≤

5

，结合a为整数得a=-1，此时b=-1或b=3．
综上所述，满足条件的实数对（a，b）是：（-1，-1），（-1，3）．