题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+ln(x+1)
（Ⅰ）如果f（x）在区间（1，2）不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a＞0，设函数g（x）=f（x）+ax，求函数g（x）的极大值．

答案

（If′(x)=

ax2-x- a

x+1

设h（x）=ax²-x-a=0的两个根为x₁，x₂
由韦达定理得x₁•x₂=1
∵f（x）在区间（1，2）不单调
∴h（x）=0在区间（1，2）上h（x）=0有且仅有一个根，另一个根小于1，
则h（1）h（2）＜0
即（a-1-a）（4a-2-a）＜0
解得a＞

2

3

（II）g′(x)=

ax[x-( 1 a -1)]

x+1

①当a=1时，函数g（x）无极值
②当a＞1时，在(-1，

1

a

-1)上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
在(

1

a

-1，0)上，g′（x）＜0，g（x）单调递减
在（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
∴当x=

1

a

-1时，g（x）取得极大值为

1

2

a-

1

2a

-1-lna
③当0＜a＜1时，函数g（x）在区间(-1，0)和(

1

a

-1，+∞)上是增函数，在区间(0，

1

a

-1)是减函数
所以函数g（x）的极大值为g（0）=0