题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x•e^x，g（x）=-x²-2x+m．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）与g（x）的图象恰有两个交点，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=x•e^x，
∴f"（x）=e^x+x•e^x=e^x（1+x）
令f"（x）=0，得x=-1
∵当x＜-1时，f"（x）＜0；当x＞-1时，f"（x）＞0
∴f（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，+∞）上为增函数．
（2）由（1）得[f（x）]_min=f（-1）=-

1

e

∵二次函数g（x）=-x²-2x+m的图象抛物线
关于x=-1对称且开口向下
∴函数g（x）在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，+∞）上为减函数
由此可得[g（x）]_max=g（-1）=m+1
∵当f（x）的最小值小于g（x）的最大值时，f（x）与g（x）的图象恰有两个交点，
∴m+1＞-

1

e

，得m＞-1-

1

e

，
由此可得实数m的取值范围是（-1-

1

e

，+∞）．