题目
题型:蓝山县模拟难度:来源:
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调递增函数;
(2)试判断m,n的大小,并说明理由;并判断函数f(x)在定义域上是否为有界函数,请说明理由;
(3)求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t)满足
f′(x0) |
ex0 |
2 |
3 |
答案
由f′(x)>0⇒x>1或x<0;由f′(x)<0⇒0<x<1,
所以f(x)在(-∞,0],[1,+∞)上单调递增,在[0,1]上单调递减,
要使f(x)在[-2,t]上为单调递增函数,则-2<t≤0
(2)n>m.
因为f(x)在(-∞,0],[1,+∞)上单调递增,在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在x=1处取极小值e.又f(-2)=
13 |
e2 |
所以f(x)在[-2,+∞)上的最小值为f(-2),从而当t>-2时,f(-2)<f(t),
即m<n.
由上知,因为f(x)在(-∝,0)上递增,且恒大于0,f(x)在(0,+∞)的最小值为e,
所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是有界函数,M=0
(3)因为
f′(x0) |
ex0 |
f′(x0) |
ex0 |
2 |
3 |
2 |
3 |
令g(x)=x2-x-
2 |
3 |
2 |
3 |
在(-2,t)上有解,并讨论解的个数.
因为g(-2)=6-
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
所以①当t>4或-2<t<1时,g(-2)•g(t)<0,所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解;
②当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0,但由于g(0)=-
2 |
3 |
所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解;③当t=1时,g(x)=x2-x=0⇒x=0或x=1,
所以g(x)=0在(-2,t)上有且只有一解;
④当t=4时,g(x)=x2-x-6=0⇒x=-2或x=3,
所以g(x)=0在(-2,4)上有且只有一解
综上所述,对于任意t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足
f′(x0) |
xx0 |
2 |
3 |
且当t≥4或-2<t≤1时,有唯一的x0符合题意;
当1<t<4时,有两个x0符合题意.
核心考点
试题【定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M,都有f(x)≥M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的下界.已知函数f(x)】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(0,
| B.(
| C.(2,+∞) | D.(-
|
1 |
x+1 |
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求f(x2)的取值范围.
1 |
(1-x)n |
(1)当n=2时,求函数F(x)=f(x)+g(x)的极值;
(2)若对任意的正整数n,当s≥2,x≥2时,f(s)+g(x)≤x-1.求a的取值范围.
1 |
x |
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)当a<0时,求f(x)的单调区间.
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