题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+

x3

3

-x²-2ax（a∈R）．
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的极值点；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

答案

（1）a=

1

2

，函数f(x)=ln(2ax+1)+

x3

3

-x2-2ax(a∈R)．
∴f（x）=ln（x+1）+

x3

3

-x²-x，
∴f′（x）=

1

x+1

+x²-2x-1，可以得f′（x）=0，可得
x（x²-x-3）=0，解得x=0，x₁=

1+ 13

2

，x₂=

1- 13

2

，
∴函数f（x）有两个极小值点：x₁=

1+ 13

2

，x₂=

1- 13

2

，
函数f（x）有一个极小值点：x=0；
（2）y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，
可以令f′（x）=

2a

2ax+1

+x²-2x-2a≥0在x≥3上恒大于0，
∴f′（x）=

-2a×2a

(2ax+1)2

+2x-2=

-4a2+2(x-1)(2ax+1)2

(2ax+1)2

，
∴当x≥3时，可得f″（x）＞0，
f′（x）在[3，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥f′（3）≥0，
∴

2a

6a+1

+9-6-2a≥0，
解得，

3- 13

4

≤a≤

3+ 13

4

；
又由2ax+1＞0且x≥3，可得a＞0，
故a的取值范围是0＜a≤

3+ 13

4

．