题目
题型:辽宁难度:来源:
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(I)证明:当t<2
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(II)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,当t>k时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;
(III)证明:f(x)≥
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答案
(I)证明:由题设易得g(x)=e2x-t(ex-1)+x,g"(x)=2e2x-tex+1.又由2ex+e-x≥2
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tex<2e2x+1,即g"(x)=2e2x-tex+1>0.由此可知,g(x)在R上是增函数.
(II)因为g"(x)<0是g(x)为减函数的充分条件,所以只要找到实数k,使得t>k时g"(x)=2e2x-tex+1<0,即t>2ex+e-x在闭区间[a,b]上成立即可.因为y=2ex+e-x在闭区间[a,b]上连续,故在闭区间[a,b]上有最大值,设其为k,于是在t>k时,g"(x)<0在闭区间[a,b]上恒成立,即g(x)在闭区间[a,b]上为减函数.
(III)设F(t)=2t2-2(ex+x)t+e2x+x2+1,即F(t)=2(t-
ex+x |
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易得F(t)≥
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于是对任意的x,t,都有F(t)≥
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核心考点
试题【已知函数f(x)=2t2-2(ex+x)t+e2x+x2+1,g(x)=12f′(x).(I)证明:当t<22时,g(x)在R上是增函数;(II)对于给定的闭区】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值范围;
(Ⅲ)若对任意的a∈[3,6),不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范围.
A.a≥3 | B.a=3 | C.a≤3 | D.0<a<3 |
A.f(c)•g(a)≥f(a)•g(c) | B.f(a)•g(a)≥f(b)•g(b) |
C.f(b)•g(a)≥f(a)•g(b) | D.f(c)•g(b)≥f(b)•g(c) |
1 |
2 |
(I)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;
(II)设g(x)=
x2+2kx+k |
x |
(III)证明:
ln2 |
22 |
ln3 |
32 |
lnn |
n2 |
2n2-n-1 |
4(n+1) |
(Ⅰ)当a=0时,求函数S(t)的单调区间;
(Ⅱ)当a>2时,若∃t0∈[0,2],使得S(t0)≥e,求a的取值范围.
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