题目
题型:天河区三模难度:来源:
(1)设函数f(x)=Inx+
b+2 |
x+1 |
(i)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(ii)求函数f(x)的单调区间.
(2)已知函数g(x)具有性质P(2),给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,a=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且a>1,β>1,若|g(a)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m取值范围.
答案
1 |
x |
b+2 |
(x+1)2 |
1 |
x(x+1)2 |
∵x>1时,h(x)=
1 |
x(x+1)2 |
∴函数f(x)具有性质P(b);
(ii)当b≤2时,对于x>1,φ(x)=x2-bx+1≥x2-2x+1=(x-1)2>0
所以f′(x)>0,故此时f(x)在区间(1,+∞)上递增;
当b>2时,φ(x)图象开口向上,对称轴 x=
b |
2 |
方程φ(x)=0的两根为:
b+
| ||
2 |
b-
| ||
2 |
而
b+
| ||
2 |
b-
| ||
2 |
2 | ||
b+
|
当 x∈(1,
b+
| ||
2 |
故此时f(x)在区间 (1,
b+
| ||
2 |
同理得:f(x)在区间[
b+
| ||
2 |
综上所述,当b≤2时,f(x)在区间(1,+∞)上递增;
当b>2时,f(x)在 (1,,
b+
| ||
2 |
b+
| ||
2 |
(2)由题设知,函数g(x)得导数g′(x)=h(x)(x2-2x+1),其中h(x)>0对于任意得x∈(1,+∞)都成立
∴当x>1时,g′(x)=h(x)(x-1)2>0,从而g(x)在(1,+∞)上单调递增
①m∈(0,1),α=mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1
α<mx2+(1-m)x2=x2
∴α∈(x1,x2)同理可得β∈(x1,x2)
由g(x)得单调性可知,g(α),g(β)∈(g(x1),g(x2))
从而有|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|符合题意
②m≤0时,α=mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2
β=(1-m)x1+mx2≤(1-m)x1+mx1=mx1
于是由α>1,β>1及g(x)得单调性可知g(β)≤g(x1)<g(x2)≤g(α)
∴|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|与题设不符
③m≥1时,同理可得α≤x1,β≥x2,进而可得|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|与题设不符
综合①②③可得m∈(0,1)
核心考点
试题【设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f"(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f"(】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间.
2x-3 |
x-1 |
(1)判断f(x)的单调性并证明;
(2)求f(x)的最大值及最小值.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)设函数f(x)在区间(-
2 |
3 |
1 |
3 |
(类型B)已知函数f(x)=x3-ax+1,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)设函数f(x)在区间(-
2 |
3 |
1 |
3 |
A.(-∞,0) | B.(-∞,1) | C.(0,+∞) | D.(1,+∞) |
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,且b≠0,函数g(x)=
1 |
3 |
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