题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）已知函数 
（1）若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证.

答案

（1）
（2）
（3）略

解析

解：（Ⅰ）因为， x >0，则，…………1分
当时，；当时，.
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，
所以函数在处取得极大值. …………3分
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以 解得.…………5分
（Ⅱ）不等式即为 记
所以…………7分
令，则，     ，    
在上单调递增，  ，从而，
故在上也单调递增，  所以，所以 .…………9分
（3）由（2）知：恒成立，即， 
令，则
所以 , ， ，…  …  
，   …………12分
叠加得：
 .
则，所以 …………14分