题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)= xlnx.
(1) 求函数f(x)的单调区间和最小值；
(2)当b>0时，求证： (其中e为自然对数的底数);
(3)若a>0,b>0, 求证：f(a)+(a+b)ln2 ³ f(a+b)- f(b).

答案

解：(1) f¢(x)="1+lnx" (x>0)-----1分
令f¢(x)³0得:lnx ³ -1= lne,
 e>1 , x ³; 令f¢(x)< 0得: 0 <x< ;-----2分
f(x)在[,+ ¥)上为增函数；在（0，]上为减函数.----3分
(2)由(1)知：当b>0时，有f(b)³ f(x)_mix= f()=" -" ,----5分
blnb ³ - ,即：, .-----6分
(3)将f(a)+(a+b)ln2 ³ f(a+b)- f(b)变形为：
f(a)+f(b)³ f(a+b)- (a+b)ln2 ------7分
即只证：f(a)+f(a+b-a)³ f(a+b)- (a+b)ln2
设函数g(x)= f(x)+f(k-x)(k>0)------8分
g(x)=" xlnx+(k-x)ln(k-x),"