题目
题型:不详难度:来源:
已知函数.
(Ⅰ)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,试比较与1的大小;
(Ⅲ)求证:.
答案
(2)①当时,,即;
②当时,,即;
③当时,,即.
(3)见解析.
解析
(II)当a=2时,可以采用作差法比较f(x)与1的大小,然后构造函数,研究其单调区间最值,从而判断它们之间的大小关系.
(III)解决本小题最佳途径是利用(2)的结论,当时,,即.
令,则有, 然后解本题的另一个关键点判断出,从而证明出.
另外也可以考虑数学归纳法.
解:(Ⅰ)当时,,定义域是,
, 令,得或. …2分
当或时,,当时,,
函数在、上单调递增,在上单调递减. ……………4分
的极大值是,极小值是.
当时,;当时,,
当仅有一个零点时,的取值范围是或.………5分
(Ⅱ)当时,,定义域为.
令,
,
在上是增函数. ……………………7分
①当时,,即;
②当时,,即;
③当时,,即. …………………………………9分
(Ⅲ)(法一)根据(2)的结论,当时,,即.
令,则有, . ……12分
,
. ………………………14分
(法二)当时,.
,,即时命题成立. …………………10分
设当时,命题成立,即 .
时,.
根据(Ⅱ)的结论,当时,,即.
令,则有,
则有,即时命题也成立.………13分
因此,由数学归纳法可知不等式成立. ………………………14分
(法三)如图,根据定积分的定义,
得.……11分
,
. ………………………………12分
,
又,,
.
. …………………………………14分
核心考点
举一反三
(1)若上单调递增,且
(2)若f(x)在x=1和x=3处取得极值,且在x∈[-6,6]时,函数的图象在直线
的下方,求c的取值范围.
(1)求函数的解析式;
(2)当时,的图像恒在直线的下方,求实数的取值范围.
(Ⅰ)证明函数f ( x )的图象关于轴对称;
(Ⅱ)判断在上的单调性;
(Ⅲ)当x∈[1,2]时函数f (x )的最大值为,求此时a的值.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)试研究曲线的所有切线与直线垂直的条数;
(Ⅲ)若对任意,均存在,使得,试求的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
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