题目

题型：不详难度：来源：

（满分14分）设函数
（1）设曲线在点（1，）处的切线与x轴平行．
① 求的最值；
② 若数列满足（为自然对数的底数），，
求证： ．
（2）设方程的实根为．
求证：对任意，存在使成立．

答案

解：（1）①的最小值为。无最大值；②见解析；（2）见解析.

解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调性和导数几何意义的运用，以及不等式的证明的综合问题
（1）第一问利用已知条件得打参数m的值，然后求解导数。判定其单调性，求解函数的单调区间，从而得到最值和放缩法得到不等式的证明
（2）第二问中运用函数与方程思想，来分析方程的解的问题。并构造函数来证明不等式 成立。
解：（1）由已知，
①。当时
当时。则在（0,1）上是减函数，在上是增函数。的最小值为。无最大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇
②（当且仅当时取到等号）

即且

即
则。又
即
则故不等式成立。．．．．．．．．．．．９＇
（2）设故在上递增。
又
所以方程即在上有唯一根且而不等式

不妨设

设

设集合
即存在成立。
那么不等式也成立
故对任意使得成立．．．14＇