题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝lnx－.
(1)当时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求的值.

答案

（1）f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数
（2）a＝－.

解析

试题分析：解：(1)由题得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知：f′(x)＝，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)_min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去).  
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)_min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－ (舍去).
③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.
当1<x<－a时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；
当－a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)_min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－.
综上可知：a＝－.
点评：解决的关键是根据导数的正负判定函数单调性，以及函数的极值，进而确定出函数的最值，属于基础题。