设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（a、b、c是两两不等的常数），则af′(a)+bf′(b)+cf′(c)=______ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（a、b、c是两两不等的常数），则

f′(a)

f′(b)

f′(c)

=______

答案

∵f（x）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ca）x-abc，
∴f′（x）=3x²-2（a+b+c）x+ab+bc+ca．
又f′（a）=（a-b）（a-c），
同理f′（b）=（b-a）（b-c），
f′（c）=（c-a）（c-b）．
∴

f′(a)

f′(b)

f′(c)

=0．

核心考点

试题【设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（a、b、c是两两不等的常数），则af′(a)+bf′(b)+cf′(c)=______】；主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f"（x）是f（x）的导数，记f^（1）（x）=f"（x），f^（n）（x）=（f^（n-1）（x））"（n∈N，n≥2），给出下列四个结论：
①若f（x）=xⁿ，则f^（5）（1）=120；
②若f（x）=cosx，则f^（4）（x）=f（x）；
③若f（x）=e^x，则f^（n）（x）=f（x）（n∈N⁺）；
④设f（x）、g（x）、f^（n）（x）和g^（n）（x）（n∈N⁺）都是相同定义域上的可导函数，h（x）=f（x）•g（x），则h^（n）（x）=f^（n）（x）•g^（n）（x）（n∈N⁺）．
则结论正确的是______（多填、少填、错填均得零分）．

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请先阅读：
设可导函数 f（x）满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x）的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=

x2+…+

xn（x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2

x+3

x2+4

x3+…+n

xn-1；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求

-2

-…+(-1)n-1n

的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2

-3•2

+4•3

+…+(-1)n-2n(n-1)

=0．

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已知f（x）=e^x，f（x）的导数为f"（x），则f"（-2）=（　　）

A．2e

B．-2e

C．e^-2

D．-2e^-2

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函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+6，则f（5）+f"（5）=______．

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已知函数f（x）=2ln3x+8x，则

lim

△x→0

f(1-2△x)-f(1)

△x

的值为（　　）

A．-20

B．-10

C．10

D．20

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