题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;
(Ⅱ)求证f(x)的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(此结论不要求证明);
(Ⅲ)若另一个三次函数G(x)的“拐点”为B(0,1),且一次项系数为0,当x1>0,x2>0(x1≠x2)时,试比较
G(x1)+G(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
答案
(2)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点,则y0=x03-3x02+2x0-2,因为P(x0,y0)关于A(1,-2)的对称点为P"(2-x0,-4-y0),
把P"代入y=f(x)得左边=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2
右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-x03+3x02-2x0-2∴右边=右边∴P′(2-x0,-4-y0)在y=f(x)图象上∴y=f(x)关于A对称 …(7分)
结论:①任何三次函数的拐点,都是它的对称中心
②任何三次函数都有“拐点”
③任何三次函数都有“对称中心”(写出其中之一)…(9分)
(3)设G(x)=ax3+bx2+d,则G(0)=d=1…(10分)∴G(x)=ax3+bx2+1,G"(x)=3ax2+2bx,G""(x)=6ax+2bG""(0)=2b=0,b=0,∴G(x)=ax3+1=0…(11分)
法一:
G(x1)+G(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
a |
2 |
x | 31 |
a |
2 |
x | 32 |
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
x | 31 |
1 |
2 |
x | 32 |
x1+x2 |
2 |
a |
2 |
x | 31 |
x | 32 |
| ||||||||
4 |
a |
8 |
x | 31 |
x | 32 |
x | 21 |
x | 22 |
a |
8 |
x | 21 |
x | 22 |
3a |
8 |
当a>0时,
G(x1)+G(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
当a<0时,
G(x1)+G(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
法二:G′′(x)=3ax,当a>0时,且x>0时,G′′(x)>0,∴G(x)在(0,+∞)为凹函数,∴
G(x1)+G(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
当a<0时,G′′(x)<0,∴G(x)在(0,+∞)为凸函数∴
G(x1)+G(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
核心考点
试题【对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f′′(x)是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的导数,若f′′(x)=0有实数解x0,则】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数F(x)=f(x)•f′(x)+f2(x)的最小正周期;
(2)若f(x)=2f′(x),求
1+sin2x |
cos2x+sinx•cosx |
A.-2 | B.-1 | C.0 | D.1 |
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