将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底） - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：河北难度：来源：

将函数f（x）=e^x展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）

答案

∵f（x）=e^x，
∴f′（x）=f″（x）=fⁿ（x）=e^x
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fⁿ（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fⁿ（x）|=|e^x|≤e^r（n=1，2）
所以函数e^x可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数e^x在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是ex=1+x+

+．

核心考点

试题【将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）】；主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

附加题：
（1）求y=xarctgx²的导数；
（2）求过点（-1，0）并与曲线y=

x+1

x+2

相切的直线方程．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f（x）=e^-x（cosx+sinx），将满足f"（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}．
（Ⅰ）证明数列{f{x_n}}为等比数列；
（Ⅱ）记S_n是数列{x_nf{x_n}}的前n项和，求

lim

n→∞

S1+S2+…+Sn

．

题型：贵州难度：| 查看答案

求函数y=e-2xsin(5x+

)的导数．

题型：福建难度：| 查看答案

已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）
（I）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（II）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f"（1）并比较2f"（1）与23n²-13n的大小．

题型：山东难度：| 查看答案

已知函数f（x）=e^-x（cosx+sinx），将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}．求证：数列{f（x_n）}为等比数列．

题型：不详难度：| 查看答案

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