题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

4ex

ex+1

（e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为t，且a＞t，f（a）=b．
（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；求导函数f′（x）的值域；
（2）证明：①a＞b，②a+f（a）＞b+f（b）．

答案

（1）f′（x）=

4ex

(ex+1)2

=

4

ex+ 1 ex +2

≤1，导函数f′（x）的值域（0，1]，
（2）设g（x）=f（x）-x，则g′（x）=f′（x）-1≤0，所以g（x）在R上是减函数，
∵a＞t，方程f（x）=x的一个根为t，即g（t）=0，
∴g（a）＜g（t）=0，而g（a）=f（a）-a
∴f（a）-a＜0，f（a）＜a，f（a）=b，即a＞b；
设h（x）=f（x）+x，则h′（x）=f′（x）+1≥0，
∴h（x）在R上是增函数，又a＞b，
∴h（a）＞h（b），
即a+f（a）＞b+f（b）．