题目

题型：南充一模难度：来源：

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，定义y=f″（x）是函数y=f′（x）的导函数．若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．根据这一发现，对于函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x+

1

12

+

1

x- 1 2

，则g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)的值为______．

答案

令h（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x+

1

12

，则h^′（x）=x²-x+3，h^″（x）=2x-1，
令h^″（x）=0，解得x=

1

2

，又h(

1

2

)=

3

2

，∴函数h（x）的拐点为(

1

2

，

3

2

)，即为函数h（x）的对称中心．．
∴h(

1

2013

)+h(

2012

2013

)=2h(

1

2

)=3．
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=3×1006=3018．
设u（x）=

1

x- 1 2

，可知其图象关于点(

1

2

，0)中心对称．
∴u(

1

2013

)+u(

2012

2013

)=0=u(

2

2013

)+u(

2011

2013

)=…，
∴u(

1

2013

)+u(

2

2013

)+…+u(

2012

2013

)=0．
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=3018．
故答案为3018．