题目
题型:不详难度:来源:
(1) 当时,求函数的极值;
(2)若函数的图象与轴有且只有一个交点,求a的取值范围.
答案
解析
∴.
令="0," 得. …… 2分
当时,, 则在上单调递增;
当时,, 则在上单调递减;
当时,, 在上单调递增.
∴当时, 取得极大值为;
当时, 取得极小值为. …… 5分
(2) ∵= ,
∴△= = .
①若a≥1,则△≤0, …… 6分
∴≥0在R上恒成立,
∴f(x)在R上单调递增 .
∵f(0),,
∴当a≥1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点. …… 8分
②若a<1,则△>0,
∴= 0有两个不相等的实数根,不妨设为x1,x2,(x1<x2).
∴x1+x2 = 2,x1x2 = a.
当变化时,的取值情况如下表:
x | x1 | (x1,x2) | x2 | ||
+ | 0 | - | 0 | + | |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∵,
∴.
∴
.
同理.
∴
.
令f(x1)·f(x2)>0, 解得a>.
而当时,,
故当时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点. …… 11分
综上所述,a的取值范围是. …… 12分
核心考点
举一反三
(1)求曲线在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)若函数在区间(-1,1)内单调递增,求的取值范围
(1)试判断函数的单调性;
(2)设,求在上的最大值;
(3)试证明:对,不等式恒成立.
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象与x轴有且只有三个交点,求实数c的取值范围.
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