题目

题型：不详难度：来源：

已知函数＝＋，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在(0，)上单调递减，在(，上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（1）①当a＜0时，函数的单调增区间为(，0)，(0，)；
②当0＜a＜1时，函数的单调增区间为，0)，(0，；
③当a＞1时，函数的单调增区间为，)，(，．
⑵＝＋( x≠0)．
⑶y＝及y＝

解析

（1）①当a＜0时，函数的单调增区间为(，0)，(0，)；
②当0＜a＜1时，函数的单调增区间为，0)，(0，；
③当a＞1时，函数的单调增区间为，)，(，．
（2）由题设及（1）中③知＝，且a＞1，解得a＝3，因此函数解析式为＝＋( x≠0)．
（3）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x，y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y＝kx(k≠0)．
设P(p，q)为曲线C上的任意一点，与P(p，q)关于直线l对称，且p≠，q≠，则也在曲线C上，由此得＝，＝，且q＝＋，＝＋，整理得k＝，解得k＝或k＝．
所以存在经过原点的直线y＝及y＝为曲线C的对称轴．