题目
题型:不详难度:来源:
(1)当,时,求函数的最大值;
(2)令,其图象上存在一点,使此处切线的斜率,求实数的取值范围;
(3)当,时,方程有唯一实数解,求正数的值.
答案
解析
试题分析:(1)将,代入函数的解析式,然后利用导数求出函数的最大值;(2)先确定函数的解析式,并求出函数的导数,然后利用导数的几何意义将问题转化为,利用恒成立的思想进行求解;(3)方法一是利用参数分离,将问题转化为方程、有且仅有一个实根,然后构造新函数,利用导数求出函数的极值从而求出参数的值;方法二是直接构造新函数,利用导数求函数的极值,并对参数的取值进行分类讨论,从而求出参数的值.
试题解析:(1)依题意,的定义域为,
当,时,,,
由 ,得,解得;
由 ,得,解得或.
,在单调递增,在单调递减;
所以的极大值为,此即为最大值;
(2),,则有在上有解,
∴,
,
所以当时,取得最小值,;
(3)方法1:由得,令,,
令,,∴在单调递增,
而,∴在,,即,在,,即,
∴在单调递减,在单调递增,
∴极小值为,令,即时方程有唯一实数解.
方法2:因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,
设,则,令,
因为,,所以(舍去),,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
当时,取最小值.
若方程有唯一实数解,
则必有 即
所以,因为所以 12分
设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解.
∵,∴方程(*)的解为,即,解得.
核心考点
试题【设函数.(1)当,时,求函数的最大值;(2)令,其图象上存在一点,使此处切线的斜率,求实数的取值范围;(3)当,时,方程有唯一实数解,求正数的值.】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极大值和极小值,若函数有三个零点,求的取值范围.
(1)若在处取得极大值,求实数的值;
(2)若,求在区间上的最大值.
(1)当时判断的单调性;
(2)若在其定义域为增函数,求正实数的取值范围;
(3)设函数,当时,若,总有成立,求实数的取值范围.
(I)若是,的极值点,讨论的单调性;
(II)当时,证明:.
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