题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若对任意的恒成立,求实数的值;
(Ⅲ)求证:.
答案
单调递增区间为;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析
解析
试题分析:(Ⅰ)利用导数分析函数的单调性,根据和分类讨论得出函数的单调区间;(Ⅱ)先由(Ⅰ)中时的单调性可知,即,构造函数,由导函数分析可得在上增,在上递减,则,由对任意的恒成立,故,得;(Ⅲ)先由(Ⅱ),即,从而问题等价转化为证.
试题解析:(Ⅰ) 1分
时,,在上单调递增。 2分
时,时,,单调递减,
时,,单调递增. 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ),时,
5分
即,记
在上增,在上递减
故,得 8分
(Ⅲ)由(Ⅱ),即,则时,
要证原不等式成立,只需证:,即证:
下证 ① 9分
①中令,各式相加,得
成立,
故原不等式成立. 14分
方法二:时,
时,
时,
核心考点
举一反三
(Ⅰ)求函数的单调区间及最小值;
(Ⅱ)若≥对任意的恒成立,求实数的值;
(Ⅲ)证明:
(1)若是函数的极值点,和是函数的两个不同零点,且,求;
(2)若对任意,都存在(为自然对数的底数),使得成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ)若,求的极小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,是否存在实常数和,使得和?若存在,求出和的值.若不存在,说明理由.
(Ⅲ)设有两个零点,且成等差数列,试探究值的符号.
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