题目
题型:不详难度:来源:
(1)若函数存在极值点,求实数b的取值范围;
(2)求函数的单调区间;
(3)当且时,令,(),()为曲线y=上的两动点,O为坐标原点,能否使得是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上?请说明理由
答案
当时,,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(3)对任意给定的正实数,曲线上总存在两点,满足条件.
解析
试题分析:(1)求,要函数由极值,也就是有实数解,由于是关于的二次函数,则由便求得的取值范围;(2)求,需要对实数进行分类讨论,或,在这两种情况下分别求出函数的单调区间,注意分类讨论问题,应弄清对哪个字母分类讨论,分类应不重不漏;(3)是探索性问题,要说明存在是以O为直角顶点的直角三角形,
且斜边中点在y轴上,需要证明,该方程有解,要对进行分类讨论分别说明.
试题解析:(1),若存在极值点,
则有两个不相等实数根.
所以,解得 .
(2),
当时,,函数的单调递增区间为;
当时,,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
当且时,
假设使得是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上.
则且.
不妨设.故,则.
,该方程有解,
当时,,代入方程得,
即,而此方程无实数解;
当时,则;
当时,,代入方程得,即,
设,则在上恒成立.
∴在上单调递增,从而,则值域为.
∴当时,方程有解,即方程有解.
综上所述,对任意给定的正实数,曲线上总存在两点,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上.
核心考点
试题【已知函数,()(1)若函数存在极值点,求实数b的取值范围;(2)求函数的单调区间;(3)当且时,令,(),()为曲线y=上的两动点,O为坐标原点,能否使得是以O】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当时,求的单调区间;
(2)对任意的,恒成立,求的最小值;
(3)若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围.
(1)设,求函数的最值;
(2)若对于任意的,都有成立,求的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若直线是曲线的切线,求实数的值;
(Ⅲ)设,求在区间上的最小值.(为自然对数的底数)
(I)求函数的单调递减区间;
(II)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(III)过点作函数图像的切线,求切线方程
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