题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,若,恒成立,求实数的最小值;
(3)证明.
答案
解析
试题分析:(1)函数问题先求定义域,当时,由于函数中含有绝对值符号,故要考虑或两种情况,接着求分别,令,求出其单调增区间或减区间;(2)当时,
,即,构造新函数,用导数法求函数的最小值,必须对分类讨论,从而求出的最小值;(3)由(2)得, ,当时,不等式左边,所以不等式成立,当时,令代入,用放缩法证明不等式成立.
试题解析:(1)当时,
当时,,
,
在上是减函数;
当时,,
,令得,,
在上单减,在上单增
综上得,的单减区间是,单增区间是. 4分
(2)当时,
即,设 5分
当时,,不合题意; 6分
当时,
令得,,
时,,在上恒成立,在上单增,
,故符合题意; 8分
②当时,,对,,,
故不合题意.综上,的最小值为. 9分
(3)由(2)得, ①
证明:当n=1时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立.
当n≥2时,令①式中得
,
,
,
所以当n≥2时不等式成立.
命题得证. 14分
核心考点
举一反三
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)当有两个极值点(设为和)时,求证:.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上为减函数,求实数的取值范围;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(1)求的极值点;
(2)对任意的,记在上的最小值为,求的最小值.
(1)当时,求函数的单调减区间;
(2)设函数的导函数为,若存在唯一的实数,使得与同时成立,求实数的取值范围;
(3)已知点为曲线上的动点,在点处作曲线的切线与曲线交于另一点,在点处作曲线的切线,设切线的斜率分别为.问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)当时,求函数的极小值;
(Ⅱ)若函数在上为增函数,求的取值范围.
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