题目
题型:不详难度:来源:
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,若对任意的两个实数满足,总存在,使得成立,证明:.
答案
解析
试题分析:(1)若,求函数的单调区间,由于含有对数式,可求出导数,在定义域内解不等式,即得函数单调区间;(2)恒成立,这是恒成立求参数范围,常采用分离常数法,故本题分离出参数后变为恒成立,构造函数,则问题转化为,利用导数可求得,从而得实数的取值范围;(3)证明:,由已知,可得,进而可变形为,只需证明,设,其中,用导数可判断,又,可得结论.
试题解析:(1)当时,函数,
则.
当时,,当时,1,
则函数的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,. 4分
(2)恒成立,即恒成立,整理得恒成立.
设,则,令,得.当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,因此当时,取得最大值1,因而. 8分
(3),.
因为对任意的总存在,使得成立,
所以, 即,
即
. 12分
设,其中,则,因而在区间(0,1)上单调递增,,又.
所以,即. 14分
核心考点
举一反三
(1)求实数的值;
(2)求在区间上的最大值;
(3)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上?请说明理由.
(1)求直线的方程及的值;
(2)若 [注:是的导函数],求函数的单调递增区间;
(3)当时,试讨论方程的解的个数.
A. |
B. |
C. |
D. |
(1)求a;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.
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