题目
题型:不详难度:来源:
(1)求实数的值;
(2)求在区间上的最大值;
(3)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上?请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)求实数的值,由函数,由图像过坐标原点,得,且根据函数在点处的切线的斜率是,由导数几何意义可得,建立方程组,可确定实数的值,进而可确定函数的解析式;(2)求在区间的最大值,因为,由于是分段函数,可分段求最大值,最后确定最大值,当时,,求导得,,令,可得在上的最大值为,当时,.对讨论,确定函数的单调性,即可求得结论;(3)这是探索性命题,可假设曲线上存在两点满足题设要求,则点只能在轴两侧.设的坐标,由此入手能得到对任意给定的正实数,曲线上存在两点使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上.
试题解析:(1)当时,则 (1分)
依题意,得即,解得. (3分)
(2)由(1)知,
①当时令得或 (4分)
当变化时的变化情况如下表:
0 | () | ||||
— | 0 | + | 0 | — | |
单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
所以在上的最大值为. (6分)
②当时,
当时, ,所以的最大值为0 ;
当时,在上单调递增,所以在上的最大值为.(7分)
综上所述,
当,即时,在上的最大值为2;
当,即时,在上的最大值为 . (9分)
(3)假设曲线上存在两点满足题设要求,则点只能在y轴的两侧.
不妨设,则,显然
因为是以为直角顶点的直角三角形,
所以,即 ①
若方程①有解,则存在满足题意的两点;若方程①无解,则不存在满足题意的两点
若,则,代入①式得,
即,而此方程无实数解,因此. (11分)
此时,代入①式得,即 ②
令,则,所以在上单调递增,因为,所以,当时,,所以的取值范围为。所以对于,方程②总有解,即方程①总有解.
因此对任意给定的正实数,曲线上总存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在y轴上. (14分)
核心考点
试题【已知函数的图像过坐标原点,且在点处的切线的斜率是.(1)求实数的值;(2)求在区间上的最大值;(3)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以为直角顶点的】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求直线的方程及的值;
(2)若 [注:是的导函数],求函数的单调递增区间;
(3)当时,试讨论方程的解的个数.
A. |
B. |
C. |
D. |
(1)求a;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设m∈R,对任意的a∈(-1,1),总存在x0∈[1,e],使得不等式ma-f(x0)<0成立,求实数m的取值范围.
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