题目
题型:不详难度:来源:
(1)试问函数f(x)能否在x=-1时取得极值?说明理由;
(2)若a=-1,当x∈[-3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求c的取值范围.
答案
解析
假设在x=-1时f(x)取得极值,则有f′(-1)=(-1)2-2a(-1)-a=0,解得a=-1.
而此时f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,所以函数f(x)在R上为增函数,函数无极值.
这与f(x)在x=-1处有极值矛盾,所以f(x)在x=-1处无极值.
(2)设f(x)=g(x),则有x3-ax2-ax=2x2+4x+c,
所以c=x3-x2-3x.
设F(x)=x3-x2-3x,则F′(x)=x2-2x-3,令F′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.
当x变化时,F′(x),F(x)的变化情况如表所示:
x | -3 | (-3,-1) | -1 | (-1,3) | 3 | (3,4) | 4 |
F′(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |
F(x) | -9 | | 极大值 | | 极小值 | | - |
当x=-1时,F(x)取得极大值F(-1)=;当x=3时,F(x)取得极小值F(3)=-9,而F(-3)=-9,F(4)=-.
如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,则函数F(x)与y=c有两个公共点,所以-<c<或c=-9.
核心考点
试题【设函数f(x)=x3-ax2-ax,g(x)=2x2+4x+c.(1)试问函数f(x)能否在x=-1时取得极值?说明理由;(2)若a=-1,当x∈[-3,4]时】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间与极值;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
(1)若函数的极小值是,求;
(2)若函数的极小值不小于,问:是否存在实数,使得函数在上单调递减?若存在,求出的范围;若不存在,说明理由.
(1)求;
(2)求证:<;
(3)设为数列的前项和,求证:<.来
(1)求证:时,恒成立;
(2)当时,求的单调区间.
(1)求切线的方程及数列的通项;
(2)设数列的前项和为,求证:.
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