题目

题型：不详难度：来源：

已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b
＋axln x，f(e)＝2.
①求b；②求函数f(x)的单调区间．

答案

①b＝2②a>0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；
a<0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)．

解析

①f(e)＝2，即－ae＋b＋aeln e＝2，∴b＝2.
②由①知f(x)＝－ax＋axln x＋2，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－a＋a＝aln x.
当a>0时，由f′(x)>0知x>1，由f′(x)<0知0<x<1；
当a<0时，由f′(x)>0知0<x<1，由f′(x)<0知x>1.
所以a>0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；
a<0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)．