题目
题型:不详难度:来源:
(1)若存在,使得,求a的取值范围;
(2)若有两个不同的实数解,证明:.
答案
解析
试题分析:本题考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数最值、恒成立问题等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先将已知不等式进行转化,将所求的参数分离出来,构造新的函数,利用“单调递增,单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最值,代入到所转化的式子中即可;第二问,将方程的2个根分别代入到方程中,得到2个式子,2个式子作差,得到方程将a分离出来,对求导,将代入,将上述的a也代入,得到所求式子的左边,只需证明即可,通过变形,只需证明即可,构造新函数,所以利用导数求函数的最小值,判断,即.
试题解析:(1)当x∈(0,+∞)时,f(x)<0等价于.
令,则,
当x∈(0,1)时,g¢(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g¢(x)>0.
g(x)有最小值g(1)=1. 4分
故a的取值范围是(1,+∞). 5分
(2)因f(x)=x,即x2-lnx=(a+1)x有两个不同的实数解u,v.
故u2-lnu=(a+1)u,v2-lnv=(a+1)v.
于是(u+v)(u-v)-(lnu-lnv)=(a+1)(u-v). 7分
由u-v<0解得.
又,所以
. 9分
设,则当u∈(0,v)时,,
h(u)在(0,v)单调递增,h(u)<h(v)=0,
从而,因此. 12分
核心考点
举一反三
A.0 | B.-1 | C.3 | D.-6 |
(1)函数的解析式为_______;
(2)函数的图像在点P(t0,f(t0))处的切线的斜率为,则t0=____________.
A.有最小值 | B.有最大值 |
C.有最小值 | D.有最大值 |
A.有最小值 | B.有最大值 |
C.有最小值 | D.有最大值 |
(1)若,求的过原点的切线方程.
(2)证明当时,对,恒有.
(3)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.
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