题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数的最大值;
(2)若,求的取值范围.
(3)证明: +(n)
答案
解析
试题分析:(1)先求,再利用判断函数的单调性并求最值;
(2)思路一:由,分,,三种情况研究函数的单调性,判断与的关系,确定的取值范围.
思路二:由,因为,所以
令,,显然,知为单调递减函数,
结合在上恒成立,可知在恒成立,转化为,从而求得的取值范围.
(3)在中令,得时,.将代入上述不等式,再将得到的个不等式相加可得结论.
解证:(1), 1分
当时,;当时,;当时,;
所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减; 3分
故. 4分
(2)解法一:, 5分
当时,因为时,所以时,; 6分
当时,令,.
当时,,单调递减,且,
故在内存在唯一的零点,使得对于有,
也即.所以,当时; 8分
当时,时,所以,当时 9分
综上,知的取值范围是. 10分
解法二:, 5分
令,.
当时,,所以单调递减. 6分
若在内存在使的区间,
则在上是增函数,,与已知不符. 8分
故,,此时在上是减函数,成立.
由,恒成立,而,
则需的最大值,即,,
所以的取值范围是. 10分
(3)在(2)中令,得时,. 11分
将代入上述不等式,再将得到的个不等式相加,得. 14分
核心考点
举一反三
(1)求函数的最大值;
(2)若的取值范围.
(1)当时,求函数在上的最大值和最小值;
(2)若在上为增函数,求正数的取值范围.
(1)求的单调区间;
(2)当时,若对于任意的,都有成立,求的取值范围.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:对任何正整数n (n≥2),都有成立;
(3)设数列的前n项和为Sn,求证:对任意正整数n,都有成立.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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