题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
答案
(Ⅱ)(1)若t<0,则<﹣t,∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,),(﹣t,+∞);f(x)的单调减区间是(,﹣t)
(2)若t>0,则>﹣t,∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣t),(,+∞);f(x)的单调减区间是(﹣t,)
(Ⅲ)见解析
解析
试题分析:(I)当t=1时,求出函数f(x),利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率,利用点斜式求出切线方程;
(II)根据f"(0)=0,解得x=﹣t或x=,讨论t的正负,在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0求出单调区间即可;
(III)根据函数的单调性分两种情况讨论,当≥1与当0<<1时,研究函数的单调性,然后根据区间端点的符号进行判定对任意t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点从而得到结论.
解:(I)当t=1时,f(x)=4x3+3x2﹣6x,f(0)=0
f"(x)=12x2+6x﹣6,f"(0)=﹣6,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=﹣6x.
(II)解:f"(x)=12x2+6tx﹣6t2,f"(0)=0,解得x=﹣t或x=
∵t≠0,以下分两种情况讨论:
(1)若t<0,则<﹣t,∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,),(﹣t,+∞);f(x)的单调减区间是(,﹣t)
(2)若t>0,则>﹣t,∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣t),(,+∞);f(x)的单调减区间是(﹣t,)
(III)证明:由(II)可知,当t>0时,f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)内单调递增,以下分两种情况讨论:
(1)当≥1,即t≥2时,f(x)在(0,1)内单调递减.
f(0)=t﹣1>0,f(1)=﹣6t2+4t+3≤﹣13<0
所以对于任意t∈[2,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
(2)当0<<1,即0<t<2时,f(x)在(0,)内单调递减,在(,1)内单调递增
若t∈(0,1],f()=+t﹣1≤<0,
f(1)=)=﹣6t2+4t+3≥﹣2t+3>0
所以f(x)在(,1)内存在零点.
若t∈(1,2),f()=+t﹣1<+1<0,
f(0)=t﹣1>0∴f(x)在(0,)内存在零点.
所以,对任意t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
综上,对于任意t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
点评:本题主要考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识,考查了计算能力和分类讨论的思想.
核心考点
试题【(14分)(2011•天津)已知函数f(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,其中t∈R.(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求实数a,b的值
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
A.2015 | B.-2015 | C.2014 | D.-2014 |
(1)若与的图像在交点(2,)处的切线互相垂直,
求的值;
(2)若是函数的一个极值点,和1是的两个零点,
且∈(,求;
(3)当时,若,是的两个极值点,当|-|>1时,
求证:|-|
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
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