题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

(Ⅰ)已知函数f(x)=x³-x，其图象记为曲线C，
(ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(ⅱ)证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁(x₁，f(x₁))处的切线交于另一点P₂(x₂，f(x₂))，曲线C与其在点P₂处的切线交于另一点P₃(x₃，f(x₃))，线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则为定值；
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)，请给出类似于(Ⅰ)(ⅱ)的正确命题，并予以证明．

答案

解：(Ⅰ)(ⅰ)由f(x)=x³-x得f′(x)=3x²-1=，
当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0；
因此，f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为。
(ⅱ)曲线C在点P₁处的切线方程为y=(3x₁²-1)(x-x₁)+x₁³-x₁，
即y=(3x₁²-1)x-2x₁³，
由得x³-x=(3x₁²-1)x-2x₁³，
即(x-x₁)²(x+2x₁)=0，解得x=x₁或x=-2x₁，故x₂=-2x₁，
进而有
，
用x₂代替x₁，重复上述计算过程，
可得x₃=-2x₂和S₂=；
又x₂=-2x₁≠0，
所以，
因此有。

(Ⅱ)记函数g(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)的图象为曲线C′，
类似于(Ⅰ)(ⅱ)的正确命题为：若对于任意不等于的实数x₁，曲线C′与其在点P₁(x₁，g(x₁))处的切线交于另一点P₂(x₂，g(x₂))，曲线C′与其在点P₂处的切线交于另一点P₃(x₃，g(x₃))，线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C′所围成封闭图形的面积分别别为S₁，S₂，则为定值．
证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，
故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至坐标原点，
因而不妨设g(x)=ax³+hx，且x₁≠0，
类似(Ⅰ)(ⅱ)的计算可得，
故。