题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同。
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）。

答案

解：（1）设与公共点处的切线相同
∵，，
由题意，
即由得：，或（舍去）
即有
令，则
于是，当，即时，；
当，即时，
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为。
（2）设，
则
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是
故当时，有，
即当时，。