题目

题型：吉林省月考题难度：来源：

已知a是实数，函数f（x）=x²（x﹣a）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

答案

解：（I）f"（x）=3x²﹣2ax．因为f"（1）=3﹣2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f"（1）=3，
则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1）
化简得3x﹣y﹣2=0．
（II）令f"（x）=0，解得．
当，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f_max=f（2）=8﹣4a．
当时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f_max=f（0）=0．
当，即0＜a＜3，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
从而
综上所述，