题目
题型:不详难度:来源:
(1)试判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明;
(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明: 对任意的自然数n(n≥3),都有f-1(n)>;
(3)若F(x)的反函数F-1(x),证明: 方程F-1(x)=0有惟一解.
答案
解析
设-1<x1<x2<1,则
F(x2)-F(x1)=()+()
,
∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.
因此F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函数.
(2)证明: 由y=f(x)=得 2y=,
∴f-1(x)=,∵f(x)的值域为R,∴f--1(x)的定义域为R.
当n≥3时,
f-1(n)>.
用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.
(3)证明:∵F(0)=,∴F-1()=0,∴x=是F-1(x)=0的一个根.
假设F-1(x)=0还有一个解x0(x0≠),则F-1(x0)=0,于
是F(0)=x0(x0≠). 这是不可能的,故F-1(x)=0有惟一解.
核心考点
试题【设f(x)=log2,F(x)=+f(x). (1)试判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明;(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明: 对】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;
(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论.
(1)求证:两函数的图象交于不同的两点A、B;
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
(1)pf()<0;
(2)方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值?
(3)你认为本题中边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么?
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