题目

题型：不详难度：来源：

某水库进入汛期的水位升高量h_n (标高)与进入汛期的天数n的关系是h_n＝20，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降4(标高)．
（I）若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？
（II）若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？
(参考数据：2.27²＝5.1529，2.31²＝5.3361)

答案

（I）在第4天会发生危险．
（II）每天开启11个水闸泄洪，才能保证水库安全．

解析

（I）进入汛期的水库水位标高f(n)＝20＋220．
令20＋220>400，整理得5n²＋6n>81，代值验证得n≥4，所以，在第4天会发生危险．
II）设每天开启p个水闸泄洪，则f(n)＝20＋220－4np，
令20＋220－4np≤400，
即p≥＝5()＝5()．
下面证明函数g(n)＝为增函数．
事实上，令g(x)＝(x≥1)，
g′(x)＝()′＝＝．
当x≥1时，g′(x)>0，∴g(x)在x≥1时为增函数，
所以　g(n)＝为增函数．  
于是　　g(n)_max＝g(40)＝p≥5×2.04＝10.20．
故知每天开启11个水闸泄洪，才能保证水库安全．