题目
题型:不详难度:来源:
(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值范围;
(3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2∈(t1,t1+1),使f ′(t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点.
答案
解析
所以h(x)=f ′(x)=x3-12x+c.……2分
由题设,方程h(x)=0有三个互异的实根.
考察函数h(x)=x3-12x+c,则h ′(x)=0,得x=±2.
x | (-∞,-2) | -2 | (-2,2) | 2 | (2,+∞) |
h ′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
h(x) | 增 | c+16 (极大值) | 减 | c-16( 极小值) | 增 |
(2)存在c∈(-16,16),使f ′(x)≥0,即x3-12x≥-c, (*)
所以x3-12x>-16,
即(x-2)2(x+4)>0(*)在区间[m-2,m+2]上恒成立. …………7分
所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集.
所以或m-2>2,即-2<m<0,或m>4. ………………………9分
(3)由题设,可得存在α,β∈R,
使f ′(x)=x3+2bx+c=(x-t1)(x2+αx+β),
且x2+αx+β≥0恒成立.又f´(t2)=0,且在x=t2两侧同号,
所以f´(x) =(x-t1)(x-t2)2.
另一方面,
g ′(x)=x3+(2b-1)x+t1+c=x3+2bx+c-(x-t1)=(x-t1)[(x-t2)2-1].
因为 t1 < x < t2,且 t2-t1<1,所以-1< t1-t2 < x-t2 <0.所以 0<(x-t2)2<1,
所以(x-t2)2-1<0.
而 x-t1>0,所以g ′(x)<0,所以g(x)在(t1,t2)内单调减.
从而g(x)在(t1,t2)内最多有一个零点.…………………………………16分
核心考点
试题【(本小题满分16分)设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值.(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
已知:
(1)设的一个极值点。求在区间上的最大值和最小值;
(2)若在区间上不是单调函数,求的取值范围。
A. | B. |
C. | D.学 |
已知函数的图象在点处的切线与直线平行.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值和最大值.
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