题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当时,求函数的极值点;
(Ⅱ)若函数在导函数的单调区间上也是单调的,求的取值范围;
(Ⅲ) 当时,设,且是函数的极值点,证明:.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)当时, (),
令,
解得(舍), , ……1分
容易判断出函数在区间单调递减,在区间,+∞)上单调递增
……2分
∴在时取极小值. ……4分
(Ⅱ)解法一: ……5分
令,
,设的两根为 ,
10当即,≥0,∴单调递增,满足题意. ……6分
20当即或时,
(1)若,则,即时,
在上递减,上递增,,
∴在(0,+∞)单调增,不合题意. ……7分
(2)若 则,即时在(0,+∞)上单调增,满足题意.
……8分
(3) 若则 即a>2时
∴在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
不合题意. ……9分
综上得或. ……10分
解法二: , ……5分
令,,
设的两根
10当即,≥0,∴单调递增,满足题意. ……6分
20当即或时,
(1)当 若,即时,,
在上单调递减,在上单调递增, ,
∴ 在(0,+∞)单调增不合题意. ……7分
若 ,即时, f(x)在(0,+∞)上单调增,满足题意.
……8分
(2)当时,,
∴f(x)在(0,x1)单调增,(x1,x2)单调减,(x2,+∞)单调增,不合题意 ……9分
综上得或. ……10分
(Ⅲ),
令,即,当时,,
所以,方程有两个不相等的正根,
不妨设,则当,<0,
当时,>0, ……11分 所以,有极小值点和极大值点,且,.
. ……13分
令,,
则当时,=-=<0,在)单调递减,……14分所以即 ……15分
点评:新课标对有关函数的综合题的考查,重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性,重在与方程、不等式等相关知识的相互联系,要求学生具备较高的数学思维能力以及较强的运算能力,体现了以函数为载体,多种能力同时考查的命题思想.
核心考点
试题【本题满分15分)已知函数,.(Ⅰ)当时,求函数的极值点;(Ⅱ)若函数在导函数的单调区间上也是单调的,求的取值范围;(Ⅲ) 当时,设,且是函数的极值点,证明:.】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(0,1) | B.(1,0) | C.(-1,0) | D.(1,4) |
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函数的极值.
A.5,-15 | B.5, -4 | C.-4,-15 | D.5,-16 |
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