题目

题型：不详难度：来源：

对于三次函数（），定义：设f″（x）是函数y＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数，则=（ ）

A．2010

B．2011

C．2012

D．2013

答案

A

解析

试题分析：因为函数 =，
所以令h（x）=，m（x）=，则g（x）=h（x）+m（x）．
则h′（x）=x²-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=，故h（x）的对称中心为（，1）．
设点p（x₀，y₀）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P′（1-x₀，2-y₀）也在曲线上，∴h（1-x₀）=2-y₀ ，∴h（x₀）+h（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
所以
==1005×2=2010．
由于函数m（x）=的对称中心为（，0），可得m（x₀）+m（1-x₀）=0．
∴
==1005×0=0．
所以= +
=2010+0=2010，故答案为2010．
点评：难题，运用化归与转化的数学思想方法，将函数g(x)的研究进行拆分，简化了解题过程。解答此类题目，心理素质首先要过关，不畏难，静心思考。