题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数在上的最小值;
(Ⅱ)设函数,如果,且,证明:.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ) 利用导数分析单调性,进而求最值;(Ⅱ)分类讨论函数的单调性
试题解析:(Ⅰ),则时,;时,。
所以,函数在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数. 2分
当时,函数在[m,m+1]上是增函数,
此时;
当时,函数在[m, 1]上是减函数,在[1,m+1]上是增函数,
此时; 6分
(Ⅱ)证明:考察函数,
所以g(x)在()内是增函数,在()内是减函数.(结论1)
考察函数F(x)=g(x)-g(2-x),即
于是
当x>1时,2x-2>0,从而(x)>0,
从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). (结论2) 10分
若,由结论1及,得,与矛盾;
若,由结论1及,得,与矛盾; 12分
若不妨设
由结论2可知,g()>g(2-),所以>g(2-)。
因为,所以,又由结论1可知函数g(x)在区间(-∞,1)内是增函数,
所以>,即>2. 15分
核心考点
举一反三
A. | B. | C. | D.[0,1] |
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)求证:.
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