题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x²－bx(b为常数)．
(1)函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线与g(x)的图像相切，求实数b的值；
(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；
(3)若b>1，对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|>|g(x₁)－g(x₂)|成立，求实数b的取值范围．

答案

（1）－1±
（2）(2，＋∞)
（3）

解析

解：(1)因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，因此f′(1)＝1，所以函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
由
消去y，得x²－2(b＋1)x＋2＝0.
所以Δ＝4(b＋1)²－8＝0，
解得b＝－1±.
(2)因为h(x)＝f(x)＋g(x)
＝ln x＋x²－bx(x>0)，
所以h′(x)＝＋x－b＝.
由题意知，h′(x)<0在(0，＋∞)上有解．
因为x>0，设u(x)＝x²－bx＋1，
则u(0)＝1>0，
所以，解得b>2.
所以实数b的取值范围是(2，＋∞)．
(3)不妨设x₁>x₂.
因为函数f(x)＝ln x在区间[1,2]上是增函数，所以f(x₁)>f(x₂)，函数g(x)图像的对称轴为直线x＝b，且b>1.
(ⅰ)当b≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x₁)<g(x₂)，所以|f(x₁)－f(x₂)|>|g(x₁)－g(x₂)|等价于f(x₁)－f(x₂)>g(x₂)－g(x₁)，即f(x₁)＋g(x₁)>f(x₂)＋g(x₂)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x²－bx(x>0)在区间[1,2]上是增函数，即等价于h′(x)＝＋x－b≥0在区间[1,2]上恒成立，亦等价于b≤x＋在区间[1,2]上恒成立，所以b≤2.
又b≥2，所以b＝2；
(ⅱ)当1<b<2时，函数g(x)在区间[1，b]上是减函数，在[b,2]上为增函数．
①当1≤x₂<x₁≤b时，|f(x₁)－f(x₂)|>|g(x₁)－g(x₂)|等价于f(x₁)－f(x₂)>g(x₂)－g(x₁)，等价于f(x₁)＋g(x₁)>f(x₂)＋g(x₂)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x²－bx(x>0)在区间[1，b]上是增函数，等价于h′(x)＝＋x－b≥0在区间[1，b]上恒成立，等价于b≤x＋在区间[1，b]上恒成立，所以b≤2.
又1<b<2，所以1<b<2；
②当b≤x₂<x₁≤2时，|f(x₁)－f(x₂)|>|g(x₁)－g(x₂)|等价于f(x₁)－f(x₂)>g(x₁)－g(x₂)等价于f(x₁)－g(x₁)>f(x₂)－g(x₂)，等价于H(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－x²＋bx在区间[b,2]上是增函数，等价于H′(x)＝－x＋b≥0在区间[b,2]上恒成立，等价于b≥x－在区间[b,2]上恒成立，所以b≥，故≤b<2；
③当1≤x₂<b<x₁≤2时，由g(x)图像的对称性知，只要|f(x₁)－f(x₂)|>|g(x₁)－g(x₂)|对于①②同时成立，那么对于③，
则存在t₁∈[1，b]，使|f(x₁)－f(x₂)|>|f(t₁)－f(x₂)|>|g(t₁)－g(x₂)|＝|g(x₁)－g(x₂)|恒成立；
或存在t₂∈[b,2]，使|f(x₁)－f(x₂)|>
|f(x₁)－f(t₂)|>|g(x₁)－g(t₂)|＝
|g(x₁)－g(x₂)|恒成立．
因此≤b<2.
综上所述，实数b的取值范围是.