题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.
答案
(2)(0,+∞)
(3)
解析
f(x)=ax+x2-xln a(a>0),a≠1),
所以f′(x)=ax ln a+2x-ln a,
f′(0)=0,又因为f(0)=1,
所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)由(1)知f′(x)=axln a+2x-ln a
=2x+(ax-1)ln a.
因为当a>0,a≠1时,总有f′(x)在R上是增函数,又f′(0)=0,所以不等式f′(x)>0的解集为(0,+∞),故函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).
(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,而当x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.当x变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,0) | 0 | (0,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | | 极小值 | |
所以f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)max为f(-1)和f(1)中的最大值.
f(1)-f(-1)
=(a+1-ln a)-
=a--2ln a.
令g(a)=a--2ln a(a>0),
因为g′(a)=1+-=2≥0,
所以g(a)=a--2ln a在a∈(0,+∞)上是增函数.
而g(1)=0,故当a>1时,g(a)>0,
即f(1)>f(-1);
当0<a<1时,g(a)<0,即f(1)<f(-1).
所以当a>1时,f(1)-f(0)≥e-1,即a-ln a≥e-1,易得函数y=a-ln a在a∈(1,+∞)上是增函数,解得a≥e;
当0<a<1时,f(-1)-f(0)≥e-1,
即+ln a≥e-1,易得函数y=+ln a在a∈(0,1)上是减函数,解得0<a≤.
综上可知,实数a的取值范围为.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+x2-xln a(a>0,a≠1).(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),求实数a,b的值;
(2)令h (x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调减区间为.
①求函数h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值M(a);
②若|h(x)|≤3在x∈[-2,0]上恒成立,求实数a的取值范围.
A. | B. |
C. | D. |
A. | B. | C. | D.以上都不对 |
A. | B. |
C. | D. |
A.3 | B.4 | C.5 | D.6 |
最新试题
- 1所有的中国古代文学作品组成了博大精深的中华文化。[ ]
- 2读世界某著名运河图,回答下题.小题1:该运河长度约为A.小于50千米B.110千米C.190千米D.240千米小题2:关
- 3下列各句中划线的熟语,使用恰当的一句是( )(3分)A.产业要发展,测试需先行,数字电视测试仪器作为数字电视产业
- 4有一种奇怪的遗传病,只传儿子,不传女儿,则这种致病基因最有可能位于( )A.女性X染色体B.男性X染色体C.Y染色
- 5在综合实践课上,小明用纸板制作一个圆锥形漏斗模型,它的底面半径为6,高为8,则这个圆锥漏斗的侧面积是__________
- 6函数是单调函数的充要条件是A.B.C.b>0D.b<0
- 7同一平面内的三个力,大小分别为4N、6N、7N,若三个力同时作用于某一物体,则该物体受这三个力合力的最大值和最小值分别为
- 8以“推进科技入户,促进增产增收”为主题的农业部科技下乡活动在安徽省五河县正式启动,拉开了2008年全国农业科技下乡的帷幕
- 9下列函数中值域为正实数的是[ ]A.y=-5xB.y=()1-xC.y=D.y=
- 10(本小题14分)已知圆圆心在直线上,且过点,. (1)求圆的方程;(2)若直线与圆相交于、两点,为坐标原点,且,求的值.
热门考点
- 1在收音机中,调谐器的作用是[ ]A.把变化的电流还原成声音B.把声音信号从高频电流中取出来C.调节收音机音量的大
- 2【题文】我国是世界上受台风影响最大的国家之一,左图是“风向标示意图”,右图是我国沿海某城市在一次台风天气过程中的风向和风
- 3解决水资源空间分布不均的工程方法是[ ]A、兴修水库B、跨流域调水C、植树造林D、防止水污染
- 4已知可用Co2O3代替MnO2制备Cl2,反应前后存在六种微粒:Co2O3、H2O、Cl2、H+、Cl-和Co2+.下列
- 5听1段材料,回答第1-2小题。1. Who comes to the city? [ ]A. The woman
- 6计算:
- 7“观念的东西不外乎移入人的头脑,并在人的头脑中改造过的物质的东西而已。”这强调了( )A.意识是人脑对客观事物能动的
- 8依次填入下面一段文字横线处的语句,衔接最恰当的一组是( )铅色水鸫的行为最具代表性。它常守候在溪面浮凸不动的岩石上,然
- 9如何除去下列各粉末状混合物中的杂质(括号内为杂质),请选用下面提供的试剂和操作,将标号填在表内。供选试剂:A盐酸;B烧碱
- 10阅读下面三段文字,完成小题。(5分)子曰:“君子喻于义,小人喻于利。”(《论语》)子曰:“富与贵,是人之所欲也,不以其道